Решение задач арифметическим способом
Урок по математике в 5 классе.
«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если вы хотите научиться решать задачи, то решайте их»
.
Д. Пойа
Цели и задачи урока:
формирование умения решать задачи арифметическим способом;
развитие творческих способностей, познавательного интереса;
развитие логического мышления;
воспитание любви к предмету;
воспитание культуры математического мышления.
Оборудование: сигнальные карточки с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Ход урока
I. Организационный момент (1 мин.)
Урок посвящен решению задач арифметическим способом. Сегодня мы будем решать задачи разных видов, но все они будут решены без помощи уравнений.
II. Историческая справка (1 мин.)
Исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениям. В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречающихся на практике.
III. Разминка
(решение задач устно - 6 мин.)
а) Задачи на карточках.
Каждому ученику дается карточка с задачей, которую он решает устно и дает ответ. Все задачи на действие 3 - 1 = 2.
(Ученики решают задачи верно, а кто нет. На всех устно. Поднимают карточки и учитель видит, кто решил задачу карточках должно быть число 2.)
б) Задачи в стихах и логические задачи. (Учитель читает вслух задачу, ученики поднимают карточку с правильным ответом.
Подарил утятам ежик
Кто ответит из ребят,
Восемь кожаных сапожек
Сколько было всех утят?
(Четыре.
)
Двое шустрых поросят
Так замерзли, аж дрожат.
Посчитайте и скажите:
Сколько валенок купить им?
(Восемь.
)
Я вошел в сосновый бор
И увидел мухомор,
Два опенка,
Два сморчка.
Три масленка,
Два строчка...
У кого ответ готов:
Сколько я нашел грибов?
(Десять.
)
4. Во дворе гуляли куры и собаки. Мальчик посчитал их лапы. Получилось десять. Сколько могло быть кур и сколько собак. (Две собаки и одна курица, одна собака и три курицы .)
5. По рецепту врача купили в аптеке 10 таблеток. Врач прописал принимать лекарство по 3 таблетки в день. На сколько дней хватит этого лекарства? (Полных дней.)
6. Брату 7 лет, а сестре 5. сколько лет будет сестре, когда брату будет 10 лет?
7. Даны числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. что больше: их произведение или сумма?
8. При постройке забора плотники поставили по прямой 5 столбов. Расстояние между столбами по 2 м. Какова длина забора?
IV. Решение задач
(Задачи детям даны на карточках - 15 мин. Дети решают задачи у доски)
Задачи а) и б) нацелены на повторение связи отношений «на... больше» и «на... меньше» с операциями сложения и вычитания.
а) Ученик токаря обточил 120 деталей за смену, а токарь на 36 деталей больше. Сколько деталей обточили токарь и его ученик вместе?
б) Первая бригада собрала за смену 52 прибора, втор?"; - на 9 приборов меньше, чем первая, а третья - на 12 приборов больше, чем вторая. Сколько приборов собрали три бригады за смену?
С помощью задачи в) учащимся можно показать решение задачи «обратным ходом».
в) В трех классах 44 девочки - это на 8 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в трех классах?
В задаче г) учащиеся могут предложить несколько способов решения.
г) У трех сестер спросили: «Сколько лет каждой из сестер?». Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?
Задача д) предназначена для повторения связи отношении «больше в...» и «меньше в...».
д) У Васи было 46 марок. За год его коллекция увеличилась на 230 марок. Во сколько раз увеличилась его коллекция?
V. Физкультминутка (2 мин.)
На одной ноге постой-ка,
Будто ты солдатик стойкий.
Ногу левую - подними.
Да смотри - не упади.
А теперь постой на левой,
Если ты солдатик смелый.
VI. Старинные, исторические задачи. Задачи со сказочным содержанием (10 мин.)
Задача е) на нахождение двух чисел по их сумме и разности.
е) (из «Арифметики» Л.Н. Толстого)
У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 больше, чем у другого. Сколько овец у каждого?
Задача на движение.
ж) (Старинная задача.) Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил 26 верст в час. Сколько верст от Москвы до Твери?
(С помощью уравнения легче добраться до ответа. Но учащимся предлагается поискать арифметическое решение задачи.)
1) 26 * 2 = 52 (версты) - на столько верст второй поезд отстал от первого;
2) 39 - 26 = 13 (верст) - на столько верст второй поезд отставал за 1 час от первого;
3) 52: 13 = 4 (ч) - столько времени был в пути первый поезд;
4) 39 * 4 = 156 (верст) - расстояние от Москвы до Твери.
Можно заглянуть в справочники найти расстояние в километрах.
1 верста = 1 км 69 м.
Задача на части.
з) Задача Кикиморы. Водяной решил жениться на кикиморе Ха-Ха. На фату кикиморе он посадил несколько пиявок, а себе на накидку в два раза больше. Во время праздника 15 пиявок отвалились, и осталось всего 435. Сколько пиявок было на фате у кикиморы?
(Задача дана для решения с помощью уравнения, но мы решаем арифметическим способом)
VII. Живые цифры (разгрузочная пауза - 4 мин.)
Учитель вызывает к доске 10 учеников, дает им цифры от 1 до 10. Ученики получают разные задания;
а) учитель называет числа; названные делают шаг вперед (н-р: 5, 8, 1, 7);
б) выходят только соседи названного числа (н-р: число 6, выходят 5 и 7);
в) учитель придумывает примеры, и выходит только тот, у кого ответ на этот пример или задачу (н-р: 2 ´ 4; 160: 80; и т.д.);
г) учитель делает несколько хлопков и еще показывает цифру (одну или две); должен выйти ученик, число которого есть сумма всех услышанных и увиденных чисел (например: 3 хлопка, цифра 5 и цифра 1.);
какое число на 4 больше четырех?
я задумала число, отняла от него 3, у меня получилось 7. Какое число я задумала?
если к задуманному числу прибавить 2, то получится 8. Чему равно задуманное число?
Надо стараться подбирать такие задания, чтобы в ответах не повторялись одни и те же числа, чтобы каждый мог активно участвовать в игре.
VIII. Подведение итогов урока (2 мин.)
- Чем мы сегодня занимались на уроке?
- Что значит решить задачу арифметическим способом?
- Надо помнить, что найденное решение задачи должно удовлетворять условиям задачи.
IХ. Задание на дом. Выставление оценок (2 мин.)
№ 387 (решить задачи арифметическим способом), для слабых учащихся. Для средних и сильных учащихся задание на дом дается на карточках.
1. В булочной было 645 кг черного и белого хлеба. После того как продали 215 кг черного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталась поровну. Сколько килограммов черного и белого хлеба в отдельности было в булочной?
Брат с сестрой нашли в лесу 25 белых грибов. Брат нашел на 7 грибов больше, чем сестра. Сколько белых грибов нашел брат?
Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слов. Оказалось, что груш и слив вместе взяли 2 кг 400 г. Определите массу взятых яблок; массу всех фруктов.
Литература
Виленкин Н., Жохов В., Чесноков А. Математика. 5 класс. - М., «Мнемозина», 2002.
Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики. - М.: Педуниверситет «Первое сентября», 2006.
Волина В. Праздник числа. - М.: Знание, 1994.
- познакомить с разными способами решения задач;
- дать представления об алгебраическом способе решения,
- научить детей выбирать разные способы решения, составлять обратные задачи.
- развивать логическое мышление,
- развитие мыслительных операций, таких как анализ, синтез.
Ход урока
1. Разминка
(Учащиеся стоят у своих мест, учитель задаёт вопрос, если ученик ответил верно, то присаживается).
- Что такое уравнение?
- Что значит найти корень уравнения
- Как найти неизвестный множитель? Делитель? Уменьшаемое?
- Продолжи определения: Скорость – это...
Чтобы найти расстояние, нужно…
Чтобы найти время, надо…
2. Проверка домашнего задания
(Дома дети в справочниках искали определения: алгебра, арифметика, геометрия).
Что изучает алгебра? арифметика? геометрия?
- Алгебра – наука, которая изучает вопросы уравнений и неравенств.
- Геометрия – одна из древнейших частей математики, изучающая пространственные отношения и формы тел.
- Арифметика –наука о числах и операциях над ними.
(Эти термины понадобятся нам позднее на уроке).
3. Послушайте задачу
В каждой из четырех клеток находится 1 животное. На каждой клетке указаны надписи, но ни одна из них не соответствует действительности. Укажите, кто находится в каждой клетке. Разместите животных по их клеткам (у каждого ребёнка наборное полотно и карточки с изображением животных).
- Покажите, что у вас получилось. Как вы рассуждали? (На доске выполнить проверку).
- Каким образом вы решили эту задачу? (Рассуждая, мысля логически) .
- Какая это задача? (Логическая).
Но в основном на уроках математики мы решаем задачи, в которых необходимо выполнять математические преобразования.
4. Прочитайте задачи
- С двух верблюдов настригли 12 кг шерсти. Со второго настригли в 3 раза больше, чем с первого. Сколько килограммов шерсти настригли с каждого верблюда?
- Леопард весит 340 кг, жираф в 3 раза тяжелее леопарда, а лев на 790 кг легче, чем жираф. На сколько килограммов леопард тяжелее льва?
- Два жирафа бежали навстречу друг другу. Один бежал со скоростью 12 м/с, скорость другого 15 м/с. Через сколько секунд они встретятся, если расстояние между ними было 135 метров?
Сравните задачи. Что общего? В чем их отличия?
- Прочитайте задачу, которую нужно решить, составив уравнение.
- Прочитайте задачу, которую нужно решить по действиям?
- Какую задачу можно решить двумя способами?
- Сформулируйте тему нашего урока.
Разные способы решения задач
5. Решите любую задачу, составив краткую запись (в виде таблицы, чертежа)
Двое работают у доски.
Проверка
- Как решали первую задачу? (Уравнением).
- Как называется раздел математики изучающий уравнения? (Алгебра).
- (Алгебраический).
- Какими способами решались вторая и третья задачи? (По действиям).
- Какой раздел математики изучает это? (Арифметика).
- Как будет называться этот способ решения? (Арифметический).
(Вывешиваем на доске):
6. Составить обратные задачи данным и решить их алгебраическим и арифметическим способами
7. Продуктивные задания на воспроизведение новых знаний
Задайте вопросы классу по изученной теме.
- Какой способ решения задач называется алгебраическим?
- Какой арифметическим?
- Как называется способ решения задач с помощью уравнений?
8. Домашнее задание
Составить задачу о животном, которую можно решить алгебраическим способом.
§ 1 Способы решения текстовых задач
Существует несколько способов решения текстовых задач:
· арифметический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью чисели знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;
· алгебраический способ - это способ решения текстовой задачи с помощьювведения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств;
· геометрический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний;
· схематический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью схем;
· графический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.
Каждый из этих способов предполагает перевод условий задачи на язык математики. Это действие математики называют математическим моделированием. Результат этого действия называют математической моделью. При применении различных способов решения получаются различные математические модели. В арифметическом способе математической моделью является числовое выражение, то есть числовой пример с несколькими действиями, а конечный результат вычислений будет решением задачи. В алгебраическом способе математической моделью чаще всего является уравнение, а решение уравнения даёт решение задачи. В геометрическом способе математической моделью может выступать геометрическая фигура, а решение задачи - например, один из найденных элементов этой фигуры. В схематическом способе математической моделью является схема, с помощью которой находят решение задачи. В графическом способе математической моделью является график, построенный по условию задачи. При этом способе решением задачи могут быть координаты определённых точек графиков.
§ 2 Пример решения текстовой задачи арифметическим способом
В этом уроке более подробно рассмотрим арифметический способ решения задачи.
Решить задачу арифметическим способом - это значит найти ответ на главный вопрос задачи посредством выполнения арифметических действий над числовыми данными из условия задачи. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга количеством действий и последовательностью выполнения этих действий в процессе решения задачи.
Например. Рассмотрим следующую задачу. Три друга Саша, Коля и Витя собирали в лесу грибы. Коля собрал в 2 раза меньше грибов, чем Саша, Витя - на 6 грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрали три друга вместе, если Саша собрал 22 гриба?
Помогает определить правильный ход логических рассуждений краткая запись условий задачи в форме таблицы.
Решим эту задачу по действиям или так называемым способом решения задач по вопросам. Для начала ответим на первый вопрос «Сколько грибов собрал Коля?».
По условию задачи «Коля собрал в 2 раза меньше грибов, чем Саша», значит, чтобы ответить на вопрос, надо 22 разделить на 2. В результате получилось, что Коля собрал 11 грибов. (22:2=11(грибов) - собрал Коля).
Следующим действием ответим на второй вопрос задачи «Сколько грибов собрал Витя?». По условию задачи «Витя собрал на 6 грибов больше, чем Коля», значит, для ответа на вопрос надо к 11-ти прибавить 6. В результате получилось, что Витя собрал 17 грибов.
22+22:2+(22:2+6)=50 грибов собрали три друга вместе.
Умение решать задачи арифметическим способом с помощью числовых выражений говорит о более высоком уровне математической подготовки по сравнению с умением решать текстовые задачи по действиям.
Список использованной литературы:
- Г.Н. Тимофеев Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие. Текстовые задачи.– Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2006г.
- В. Булынин Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005г.
- Н.И. Попов, А.Н. Марасанов Задачи на составление уравнений. Учебное пособие. Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003г.
- Н.А. Зарипова Программа элективного курса "Текстовые задачи". http://festival.1september.ru/articles/310281/
- Н.А. Зарипова Методика решения задач группы vts. Материалы к проведению элективного курса "Решение текстовых задач" http://festival.1september.ru/articles/415044/
Использованные изображения:
Цель нашего урока
Великий математик Анри Пуанкаре сказал, что «математика - это искусство давать различным вещам одно и то же название». В этом шутливом афоризме заключён глубокий смысл.
Работа с учебником.
Когда задачу решают алгебраическим способом, то прежде всего условие задачи переводят на язык математики. Основа такого перевода, его первый шаг - введение буквы для обозначения какой-либо неизвестной величины.
В результате перевода обычно получается равенство, содержащее букву. Это равенство, как вы уже знаете, называют уравнением .
Арифметическое решение задачи:
Складывается возраст четверых детей. В 2000 г. возраст каждого из них на 2 года меньше, значит, их суммарный возраст меньше на 2 · 4 = 8 (лет). Таким образом, в 2000 г. близнецам вместе было 50 – 8 = 42 (года).
Если бы все они были в возрасте младших, то в 2000 г. им было бы
вместе 42 – 3 · 2 = 36 (лет). Значит, младшим в 2000 г. было по
36: 4 = 9 (лет), а старшим - по 9 + 3 = 12 (лет).
Алгебраический способ решения задач
В семье две пары близнецов, родившихся с разницей в три года. В 2012 г. всем вместе исполнилось 50 лет. Сколько лет было каждому из близнецов в 2010 г.?
Алгебраическое решение задачи:
Обозначим через х возраст младших близнецов в 2010 г. Тогда старшим близнецам в этом году было по x + З года. В 2012 г., т. е. через 2 года, младшим близнецам было по x + 2 года, а старшим - по x + 5 лет.
По условию задачи суммарный возраст близнецов в 2012 г. составил
50 лет. Значит, ( х + 2) + ( х + 2) + ( х + 5) + ( х + 5) = 50.
Таким образом, уравнение составлено.
Чтобы найти неизвестное число х, это уравнение надо решить.
Рабочая тетрадь № 79
Практикум
Рабочая тетрадь № 80
x ор x ор
12 ор 12 ор
(x – 12)ор (x + 12)ор
3(x – 12) = (x + 12)
Рабочая тетрадь № 81
x + 8 = 3x
Практикум
Учебник № 336
Обозначим через х чел. – было в 1 вагоне,
тогда во 2 вагоне было (х + 14) чел.
По условию задачи число человек в двух вагонах было равно 86.
Составим уравнение: х + (х + 14) = 86
1 уравнение
2 уравнение
Обозначим через х чел. – было во 2 вагоне,
Составим уравнение: х + (х – 14) = 86
Учебник № 337
Обозначим через х число листов в первой пачке,
тогда во 2 пачке было 4х листов.
По условию задачи число листов в двух пачках было равно 350.
Составим уравнение: х + 4х = 350
1 уравнение
2 уравнение
Обозначим через х число листов во второй пачке Составим уравнение: х + х:4 = 350
Учебник № 343
Обозначим через х лет возраст Пети,
тогда возраст отца составляет 3х лет, а возраст деда 6х лет.
По условию задачи суммарный возраст Пети, отца и деда составляет 110лет.
Значит, 6х + 3х + х = 110
1 уравнение
2 уравнение
Составим уравнение: 110 – (6х + 3х) = х
3 уравнение
Составим уравнение: 110 – 6х = 3х + х
Учебник № 345
уравнение
Учебник № 338
(х + 11) : 2 = х + 2
верно
(х + 3) + х = 21; 21 – (х + 3) = х;
х + 1,5х = 15; 15 – 1,5х = х;
Домашнее задание
№ 336, 337, 343, 345 Устно: стр. 103-104
1. Общие замечания к решению задач алгебраическим методом.
2. Задачи на движение.
3. Задачи на работу.
4. Задачи на смеси и проценты.
Использование алгебраического метода для нахождения арифметического пути решения текстовых задач.
1. При решении задач алгебраическим методом искомые величины или другие величины, зная которые можно определить искомые, обозначают буквами (обычно х, у, z ). Все независимые между собой соотношения между данными и неизвестными величинами, которые либо непосредственно сформулированы в условии (в словесной форме), либо вытекают из смысла задачи (например, физические законы, которым подчиняются рассматриваемые величины), либо следуют из условия и некоторых рассуждений, записываются в виде равенства неравенств. В общем случае эти соотношения образуют некоторую смешанную систему. В частных случаях эта система может не содержать неравенств либо уравнений или она может состоять лишь из одного уравнения или неравенства.
Решение задач алгебраическим методом не подчиняется какой-либо единой, достаточно универсальной схеме. Поэтому всякое указание, относящееся ко всем задачам, носит самый общий характер. Задачи, которые возникают при решении практических и теоретических вопросов, имеют свои индивидуальные особенности. Поэтому их исследование и решение носят самый разнообразный характер.
Остановимся на решении задач, математическая модель которых задается уравнением с одним неизвестным.
Напомним, что деятельность по решению задачи состоит из четырех этапов. Работа на первом этапе (анализ содержания задачи) не зависит от выбранного метода решения и не имеет принципиальных отличий. На втором этапе (при поиске пути решения задачи и составлении плана ее решения) в случае применения алгебраического метода решения осуществляются: выбор основного соотношения для составления уравнения; выбор неизвестного и введение обозначения для него; выражение величин, входящих в основное соотношение, через неизвестное и данные. Третий этап (осуществление плана решения задачи) предполагает составление уравнения и его решение. Четвертый этап (проверка решения задачи) осуществляется стандартно.
Обычно при составлении уравнений с одним неизвестным х придерживаются следующих двух правил.
Правило I . Одна из данных величин выражается через неизвестное х и другие данные (то есть составляется уравнение, в котором одна часть содержит данную величину, а другая – ту же величину, выраженную посредством х и других данных величин).
Правило II . Для одной и той же величины составляются два алгебраических выражения, которые затем приравниваются друг к другу.
Внешне кажется, что первое правило проще второго.
В первом случае всегда требуется составить одно алгебраическое выражение, а во втором – два. Однако часто встречаются задачи, в которых удобнее составить два алгебраических выражения для одной и той же величины, чем выбрать уже известную и составить для нее одно выражение.
Процесс решения текстовых задач алгебраическим способом выполняется по следующему алгоритму:
1. Сначала выбирают соотношение, на основании которого будет составлено уравнение. Если задача содержит более двух соотношений, то за основу для составления уравнения надо взять то соотношение, которое устанавливает некоторую связь между всеми неизвестными.
Затем выбирают неизвестное, которое обозначают соответствующей буквой.
Все неизвестные величины, входящие в выбранное для составления уравнения соотношение, необходимо выразить через выбранное неизвестное, опираясь на остальные соотношения, входящие в задачу кроме основного.
4. Из указанных трех операций непосредственно вытекает составление уравнения как оформление словесной записи при помощи математических символов.
Центральное место среди перечисленных операций занимает выбор основного соотношения для составления уравнений. Рассмотренные примеры показывают, что выбор основного соотношения является определяющим при составлении уравнений, вносит логичную стройность в порою расплывчатый словесный текст задачи, дает уверенность в ориентации и предохраняет от беспорядочных действий для выражения всех входящих в задачу величин через данные и искомые.
Алгебраический метод решения задач имеет огромное практическое значение. С его помощью решают самые разнообразные задачи из области техники, сельского хозяйства, быта. Уже в средней школе уравнения применяются учащимися при изучении физики, химии, астрономии. Там, где арифметика оказывается бессильной или, в лучшем случае, требует крайне громоздких рассуждений, там алгебраический метод легко и быстро приводит к ответу. И даже в так называемых «типовых» арифметических задачах, сравнительно легко решаемых арифметическим путем, алгебраическое решение, как правило, является и более коротким, и более естественным.
Алгебраический метод решения задач позволяет легко показать, что некоторые задачи, отличающиеся друг от друга лишь фабулой, имеют не только одни и те же соотношения между данными и искомыми величинами, но и приводят к типичным рассуждениям, посредством которых устанавливаются эти соотношения. Такие задачи дают лишь различные конкретные интерпретации одного и того же математического рассуждения, одних и тех же соотношений, то есть имеют одну и ту же математическую модель.
2. К группе задач на движение относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: пути (s ), скорости (v ) и времени (t ). Как правило, в них речь идет о равномерном прямолинейном движении, когда скорость постоянна по модулю и направлению. В этом случае все три величины связаны следующим соотношением: S = vt . Например, если скорость велосипедиста 12 км/ч, то за 1,5 ч. он проедет 12 км/ч 1,5 ч = 18 км. Встречаются задачи, в которых рассматривается равноускоренное прямолинейное движение, то есть движение с постоянным ускорением (а). Пройденный путь s в этом случае вычисляется по формуле: S = v 0 t + at 2 /2, где v 0 – начальная скорость движения. Так, за 10 с падения с начальной скоростью 5 м/с и ускорением свободного падения 9,8 м 2 /с тело пролетит расстояние, равное 5 м/с 10с + 9,8 м 2 /с 10 2 с 2 /2 = 50 м + 490 м = 540 м.
Как уже отмечалось, в ходе решения текстовых задач и в первую очередь в задачах, связанных с движением, весьма полезно сделать иллюстративный чертеж (построить вспомогательную графическую модель задачи). Чертеж следует выполнить так, чтобы на нем была видна динамика движения со всеми встречами, остановками и поворотами. Грамотно составленный чертеж позволяет не только глубже понять содержание задачи, но и облегчает составление уравнений и неравенств. Примеры таких чертежей будут приведены ниже.
Обычно в задачах на движение принимаются следующие соглашения.
Если специально не оговорено в задаче, то движение на отдельных участках считается равномерным (будь то движение по прямой или по окружности).
Повороты движущихся тел считаются мгновенными, то есть происходят без затрат времени; скорость при этом также меняется мгновенно.
Данную группу задач, в свою очередь, можно разбить на задачи, в которых рассматриваются движения тел: 1) навстречу друг другу; 2) в одном направлении («вдогонку»); 3) в противоположных направлениях; 4) по замкнутой траектории; 5) по течению реки.
Если расстояние между телами равно S , а скорости тел равны v 1 и v 2 (рис. 16 а ), то при движении тел навстречу друг другу время, через которое они встретятся, равно S /(v 1 + v 2).
2. Если расстояние между телами равно S , а скорости тел равны v 1 и v 2 (рис. 16 б ), то при движении тел в одну сторону (v 1 > v 2) время, через которое первое тело догонит второе, равно S /(v 1 – v 2).
3. Если расстояние между телами равно S , а скорости тел равны v 1 и v 2 (рис. 16 в ), то, отправившись одновременно в противоположных направлениях, тела будут через время t находиться на расстоянии S 1 = S + (v 1 + v 2 ) t .
Рис. 16
4. Если тела движутся в одном направлении по замкнутой траектории длиной s со скоростями v 1 и v 2 , то время, через которое тела опять встретятся (одно тело догонит другое), отправившись одновременно из одной точки, находится по формуле t = S /(v 1 – v 2) при условии, что v 1 > v 2 .
Это следует из того, что при одновременном старте по замкнутой траектории в одном направлении тело, скорость которого больше, начинает догонять тело, скорость которого меньше. В первый раз оно догоняет его, пройдя расстояние на S большее, чем другое тело. Если же оно обгоняет его во второй, в третий раз и так далее, это означает, что оно проходит расстояние на 2S , на 3S и так далее большее, чем другое тело.
Если тела движутся в разных направлениях по замкнутой траектории длиной S со скоростями v 1 и v 2 , то время, через которое они встретятся, отправившись одновременно из одной точки, находится по формуле t = v (v 1 + v 2). В этом случае сразу после начала движения возникает ситуация, когда тела начинают двигаться навстречу друг другу.
5. Если тело движется по течению реки, то его скорость относительно берега и слагается из скорости тела в стоячей воде v и скорости течения реки w : и = v + w . Если тело движется против течения реки, то его скорость и = v – w . Например, если скорость катера v = 12 км/ч, а скорость течения реки w = 3 км/ч, то за 3 ч. по течению реки катер проплывет (12 км/ч + 3 км/ч) 3 ч. = 45 км, а против течения – (12 км/ч – 3 км/ч) 3 ч. = 27 км. Считают, что скорость предметов, имеющих нулевую скорость движения в стоячей воде (плот, бревно и т. п.), равна скорости течения реки.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример .Из одного пункта в одном направлении через каждые 20 мин. выезжают автомобили. Второй автомобиль едет со скоростью 60 км/ч, а скорость первого на 50% больше скорости второго. Найдите скорость движения третьего автомобиля, если известно, что он обогнал первый автомобиль на 5,5 ч позже, чем второй.
Решение . Пусть х км/ч – скорость третьего автомобиля. Скорость первого автомобиля на 50% больше скорости второго, значит, она равна
При движении в одном направлении время встречи находится как отношение расстояния между объектами к разности их скоростей. Первый автомобиль за 40 мин. (2/3 ч) проедет 90 (2/3) = 60 км. Следовательно, третий его догонит (они встретятся) через 60/(х – 90) часов. Второй за 20 мин. (1/3 ч) проедет 60 (1/3) = 20 км. Значит, третий его догонит (они встретятся) через 20/(х – 60) ч. (рис. 17).
П
о
условию задачи
Рис. 17
После
несложных преобразований получим
квадратное уравнение 11х 2
– 1730х + 63000 = 0, решив которое найдем
Проверка показывает, что второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае третий автомобиль не догонит другие автомобили. Ответ: скорость движения третьего автомобиля 100 км/ч.
Пример .Теплоход прошел по течению реки 96 км, вернулся обратно и некоторое время простоял под погрузкой, затратив на все 32 ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Определите скорость теплохода в стоячей воде, если время погрузки составляет 37,5% от времени, затраченного на весь путь туда и обратно.
Решение . Пусть х км/ч – скорость теплохода в стоячей воде. Тогда (х + 2) км/ч – его скорость по течению; (х – 2) км/ч – против течения; 96/(х + 2) ч. – время движения по течению; 96/(х – 2) ч. – время движения против течения. Так как 37,5% от общего количества времени теплоход стоял под погрузкой, то чистое время движения равно 62,5% 32/100% = 20 (ч.). Следовательно, по условию задачи имеем уравнение:
Преобразовав его, получим: 24(х – 2 + х + 2) = 5(х + 2)(х – 2) => 5х 2 – 4х – 20 = 0. Решив квадратное уравнение, находим: х 1 = 10; х 2 = -0,4. Второй корень не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 10 км/ч – скорость движения теплохода в стоячей воде.
Пример . Автомобиль проехал путь из города А в город С через город В без остановок. Расстояние АВ, равное 120 км, он проехал с постоянной скоростью на 1 ч. быстрее, чем расстояние ВС, равное 90 км. Определите среднюю скорость движения автомобиля от города А до города С, если известно, что скорость на участке АВ на 30 км/ч больше скорости на участке ВС.
Решение . Пусть х км/ч – скорость автомобиля на участке ВС.
Тогда (х + 30) км/ч – скорость на участке АВ, 120/(х + 30) ч, 90/х ч – время, закоторое автомобиль проезжает путиАВ и ВС соответственно.
Следовательно, по условию задачи имеем уравнение:
.
Преобразуем его:
120х + 1(х + 30)х = 90(х + 30) => х 2 + 60х – 2700 = 0.
Решив квадратное уравнение, находим: х 1 = 30, х 2 = -90. Второй корень не удовлетворяет условию задачи. Значит, скорость на участке ВС равна 30 км/ч, на участке АВ – 60 км/ч. Отсюда следует, что расстояние АВ автомобиль проехал за 2 ч. (120 км: 60 км/ч = 2 ч.), а расстояние ВС – за 3 ч. (90 км: 30 км/ч = 3 ч.), поэтому все расстояние АС он проехал за 5 ч. (3 ч. + 2 ч. = 5 ч.). Тогда средняя скорость движения на участке АС, протяженность которого 210 км, равна 210 км: 5 ч. = 42 км/ч.
Ответ: 42 км/ч – средняя скорость движения автомобиля на участке АС.
К группе задач на работу относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: работе А , времени t , в течение которого производится работа, производительности Р – работе, произведенной в единицу времени. Эти три величины связаны уравнением А = Р t . К задачам на работу относят и задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров (сосудов, баков, бассейнов и т. п.) с помощью труб, насосов и других приспособлений. В качестве произведенной работы в этом случае рассматривают объем перекачанной воды.
Задачи на работу, вообще говоря, можно отнести к группе задач на движение, так как в задачах такого типа можно считать, что вся работа или полный объем резервуара играют роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Однако по фабуле эти задачи естественным образом различаются, причем часть задач на работу имеют свои специфические приемы решения. Так, в тех задачах, в которых объем выполняемой работы не задан, вся работа принимается за единицу.
Пример. Две бригады должны были выполнить заказ за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая бригада заканчивала выполнение заказа еще 7 дней. За сколько дней могла бы выполнить заказ каждая из бригад, работая отдельно?
Решение . Пусть первая бригада выполняет задание за х дней, вторая бригада – за y дней. Примем всю работу за единицу. Тогда 1/х – производительность первой бригады, a 1/y – второй. Так как две бригады должны выполнить заказ за 12 дней, то получим первое уравнение 12(1/х + 1/у ) = 1.
Из второго условия следует, что вторая бригада работала 15 дней, а первая – только 8 дней. Значит, второе уравнение имеет вид:
8/х + 15/у = 1.
Таким образом, имеем систему:
Вычтем из второго уравнения первое, получим:
21/y = 1 => у = 21.
Тогда 12/х + 12/21 = 1 => 12/ х – = 3/7 => х = 28.
Ответ: за 28 дней выполнит заказ первая бригада, за 21 день – вторая.
Пример . Рабочий А и рабочий В могут выполнить работу за 12 дней, рабочий А и рабочий С – за 9 дней, рабочий В и рабочий С – за 12 дней. За сколько дней они выполнят работу, работая втроем?
Решение . Пусть рабочий А может выполнить работу за х дней, рабочий В – за у дней, рабочий С – за z дней. Примем всю работу за единицу. Тогда 1/х, 1/ y и 1/z – производительности рабочих А, В и С соответственно. Используя условие задачи, приходим к следующей системе уравнений, представленной в таблице.
Таблица 1
Преобразовав уравнения, имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
Сложив почленно уравнения системы, получим:
или
Сумма это совместная производительность рабочих, поэтому время, за которое они выполнят всю работу, будет равно
Ответ: 7,2 дня.
Пример . В бассейн проведены две трубы – подающая и отводящая, причем через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую вода из бассейна выливается. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов через одну первую трубу может наполниться бассейн и за сколько часов через одну вторую трубу может осушиться полный бассейн?
Решение . Пусть V м 3 – объем бассейна, х м 3 /ч – производительность подающей трубы, у м 3 /ч – отводящей. Тогда V / x ч. – время, необходимое подающей трубе для заполнения бассейна, V / y ч. – время, необходимое отводящей трубе на осушение бассейна. По условию задачи V / x – V / y = 2.
Так как производительность отводящей трубы больше производительности наполняющей, то при включенных обеих трубах будет происходить осушение бассейна и одна треть бассейна осушится за время (V /3)/(y – x ), которое по условию задачи равно 8 ч. Итак, условие задачи может быть записано в виде системы двух уравнений с тремя неизвестными:
В задаче необходимо найти V / x и V / y . Выделим в уравнениях комбинацию неизвестных V / x и V / y , записав систему в виде:
Вводя новые неизвестные V / x = а и V / y = b , получаем следующую систему:
Подставляя во второе уравнение выражение а = b + 2, имеем уравнение относительно b :
решив которое найдем b 1 = 6, b 2 = -8. Условию задачи удовлетворяет первый корень 6, = 6 (ч.). Из первого уравнения последней системы находим а = 8 (ч), то есть первая труба наполняет бассейн за 8 ч.
Ответ: через первую трубу бассейн наполнится через 8 ч., через вторую трубу бассейн осушится через 6 ч.
Пример . Одна тракторная бригада должна вспахать 240 га, а другая на 35% больше, чем первая. Первая бригада, вспахивая ежедневно на 3 га меньше второй, закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая бригада. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада ежедневно?
Решение . Найдем 35 % от 240 га: 240 га 35 % /100 % = 84 га.
Следовательно, вторая бригада должна была вспахать 240 га + 84 га = 324 га. Пусть первая бригада вспахивала ежедневно х га. Тогда вторая бригада вспахивала ежедневно (х + 3) га; 240/х – время работы первой бригады; 324/(х + 3) – время работы второй бригады. По условию задачи первая бригада закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая, поэтому имеем уравнение
которое после преобразований можно записать так:
324х – 240х – 720 = 2х 2 + 6х => 2х 2 – 78х + 720 = 0 => х 2 – 39х + 360 = 0.
Решив квадратное уравнение, находим х 1 = 24, х 2 = 15. Это норма первой бригады.
Следовательно, вторая бригада вспахивала в день 27 га и 18 га соответственно. Оба решения удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 24 га в день вспахивала первая бригада, 27 га – вторая; 15 га в день вспахивала первая бригада, 18 га – вторая.
Пример . В мае два цеха изготовили 1080 деталей. В июне первый цех увеличил выпуск деталей на 15%, а второй увеличил выпуск деталей на 12%, поэтому оба цеха изготовили 1224 детали. Сколько деталей изготовил в июне каждый цех?
Решение . Пусть х деталей изготовил в мае первый цех, у деталей – второй. Так как в мае изготовлено 1080 деталей, то по условию задачи имеем уравнение x + y = 1080.
Найдем 15% от х :
Итак, на 0,15х деталей увеличил выпуск продукции первый цех, следовательно, в июне он выпустил х + 0,15 х = 1,15 x деталей. Аналогично найдем, что второй цех в июне изготовил 1,12 y деталей. Значит, второе уравнение будет иметь вид: 1,15 x + 1,12 у = 1224. Таким образом, имеем систему:
из которой находим х = 480, у = 600. Следовательно, в июне цеха изготовили 552 детали и 672 детали соответственно.
Ответ: первый цех изготовил 552 детали, второй – 672 детали.
4. К группе задач на смеси и процентыотносятся задачи, в которых речь идет о смешении различных веществ в определенных пропорциях, а также задачи на проценты.
Задачи на концентрацию и процентное содержание
Уточним некоторые понятия. Пусть имеется смесь из п различных веществ (компонентов) А 1 А 2 , ..., А n соответственно, объемы которых равны V 1 , V 2 , ..., V n . Объем смеси V 0 складывается из объемов чистых компонентов: V 0 = V 1 + V 2 + ... + V n .
Объемной концентрацией вещества А i (i = 1, 2, ..., п) в смеси называется величина с i , вычисляемая по формуле:
Объемным процентным содержанием вещества А i (i = 1, 2, ..., п) в смеси называется величина p i , вычисляемая по формуле р i = с i , 100%. Концентрации с 1, с 2 , ..., с n , являющиеся безразмерными величинами, связаны равенством с 1 + с 2 + ... + с n = 1, а соотношения
показывают, какую часть полного объема смеси составляют объемы отдельных компонентов.
Если известно процентное содержание i -го компонента, то его концентрация находится по формуле:
то есть Pi – это концентрация i -го вещества в смеси, выраженная в процентах. Например, если процентное содержание вещества составляет 70%, то его соответствующая концентрация равна 0,7. И наоборот, если концентрация равна 0,33, то процентное содержание равно 33%. Таким образом, сумма р 1 + р 2 + …+ р n = 100%. Если известны концентрации с 1 , с 2 , ..., с n компонентов, составляющих данную смесь объема V 0 , то соответствующие объемы компонентов находятся по формулам:
Аналогичным образом вводятся понятия весовые (массовые) кон центрации компонентов смеси и соответствующие процентные содержания. Они определяются как отношение веса (массы) чистого вещества А i , в сплаве к весу (массе) всего сплава. О какой концентрации, объемной или весовой, идет речь в конкретной задаче, всегда ясно из ее условия.
Встречаются задачи, в которых приходится пересчитывать объемную концентрацию на весовую или наоборот. Для того чтобы это сделать, необходимо знать плотности (удельные веса) компонентов, составляющих раствор или сплав. Рассмотрим для примера двухкомпонентную смесь с объемными концентрациями компонентов с 1 и с 2 (с 1 + с 2 = 1) и удельными весами компонентов d 1 и d 2 . Масса смеси может быть найдена по формуле:
в которой V 1 и V 2 – объемы составляющих смесь компонентов. Весовые концентрации компонентов находятся из равенств:
которые определяют связь этих величин с объемными концентрациями.
Как правило, в текстах таких задач встречается одно и то же повторяющееся условие: из двух или нескольких смесей, содержащих компоненты A 1 , A 2 , А 3 , ..., А n , составляется новая смесь путем перемешивания исходных смесей, взятых в определенной пропорции. При этом требуется найти, в каком отношении компоненты А 1, А 2 , А 3 , ..., А n войдут в получившуюся смесь. Для решения этой задачи удобно ввести в рассмотрение объемное или весовое количество каждой смеси, а также концентрации составляющих ее компонентов А 1, А 2 , А 3 , ..., А n . С помощью концентраций нужно «расщепить» каждую смесь на отдельные компоненты, а затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При этом легко подсчитать, какое количество каждого компонента входит в получившуюся смесь, а также полное количество этой смеси. После этого определяются концентрации компонентов А 1, А 2 , А 3 , ..., А n в новой смеси.
Пример .Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 80% и 30% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 60% меди?
Решение . Пусть первого сплава взято х кг, а второго – у кг. По условию концентрация меди в первом сплаве равна 80/100 = 0,8, во втором – 30/100 = 0,3 (ясно, что речь идет о весовых концентрациях), значит, в первом сплаве 0,8х кг меди и (1 – 0,8)х = 0,2х кг цинка, во втором – 0,3 у кг меди и (1 – 0,3)y = 0,7у кг цинка. Количество меди в получившемся сплаве равно (0,8 х + 0,3 у) кг, а масса этого сплава составит (х + у) кг. Поэтому новая концентрация меди в сплаве, согласно определению, равна
По условию задачи эта концентрация должна равняться 0,6. Следовательно, получаем уравнение:
Данное уравнение содержит два неизвестных х и у. Однако по условию задачи требуется определить не сами величины х и у, а только их отношение. После несложных преобразований получаем
Ответ: сплавы надо взять в отношении 3: 2.
Пример .Имеются два раствора серной кислоты в воде: первый – 40%-ный, второй – 60%-ный. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20%-ный раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг 80%-ного раствора, то получили бы 70%-ный раствор. Сколько было 40%-ного и 60%-ного растворов?
Решение . Пусть х кг – масса первого раствора, у кг – второго. Тогда масса 20%-ного раствора (х + у + 5) кг. Так как в х кг 40%-ного раствора содержится 0,4х кг кислоты, в у кг 60%-ного раствора содержится 0,6y кг кислоты, а в (х + у + 5) кг 20%-ного раствора содержится 0,2(х + у + 5) кг кислоты, то по условию имеем первое уравнение 0,4х + 0,6y = 0,2(х +у + 5).
Если вместо 5 кг воды добавить 5 кг 80%-ного раствора, то получится раствор массой (х + у + 5) кг, в котором будет (0,4х + 0,6у + 0,8 5) кг кислоты, что составит 70% от (х + у + 5) кг.