Равномерный закон распределения. Равномерный и показательный законы распределения непрерывной случайной величины Функции равномерно распределенной случайной величины

Напомним определение плотности вероятности.

Введем теперь понятие равномерного распределения вероятностей:

Определение 2

Распределение называется равномерным, если на интервале, содержащем все возможные значения случайной величины, плотность распределения постоянна, то есть:

Рисунок 1.

Найдем значение константы $\ C$, используя следующее свойство плотности распределения: $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}=1$

\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}=\int\limits^a_{-\infty }{0dx}+\int\limits^b_a{Cdx}+\int\limits^{+\infty }_b{0dx}=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Таким образом, функция плотности равномерного распределения имеет вид:

Рисунок 2.

График имеет следующий вид (рис. 1):

Рисунок 3. Плотность равномерного распределения вероятности

Функция равномерного распределения вероятностей

Найдем теперь функцию распределения при равномерном распределении.

Для этого будем использовать следующую формулу: $F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (x)dx}$

  1. При $x ≤ a$, по формуле, получим:
  1. При $a
  1. При $x> 2$, по формуле, получим:

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Рисунок 4.

График имеет следующий вид (рис. 2):

Рисунок 5. Функция равномерного распределения вероятности.

Вероятность попадания случайной величины в интервал $({\mathbf \alpha },{\mathbf \beta })$ при равномерном распределении вероятностей

Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$ при равномерном распределении вероятностей будем пользоваться следующей формулой:

Математическое ожидание:

Среднее квадратическое отклонение:

Примеры решения задачи на равномерное распределение вероятностей

Пример 1

Интервал движения между троллейбусами составляет 9 минут.

    Составить функцию распределения и плотность распределения случайной величины $X$ ожидания пассажирами троллейбуса.

    Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус меньше чем через три минуты.

    Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус не менее чем через 4 минуты.

    Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

  1. Так как непрерывная случайная величина ожидания троллейбуса $X$ равномерно распределена, то $a=0,\ b=9$.

Таким образом, плотность распределения, по формуле функции плотности равномерного распределения вероятности, имеет вид:

Рисунок 6.

По формуле функции равномерного распределения вероятности, нашем случае функция распределения имеет вид:

Рисунок 7.

  1. Данный вопрос можно переформулировать следующим образом: найдем вероятность попадания случайной величины равномерного распределения в интервал $\left(6,9\right).$

Получаем:

\, если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f (х) имеет следующий вид:

Иногда это распределение называют законом равномерной плотности . Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.

Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то

откуда с =1/(b - a ).

Теперь функцию f (x ) можно представить в виде

Построим функцию распределения F (x ), для чего найдем выражение F (x ) на интервале [ a , b ]:


Графики функций f (x ) и F (x ) имеют вид:


Найдем числовые характеристики.

Используя формулу для вычисления математического ожидания НСВ, имеем:

Таким образом, математическое ожидание случайной вели­чины, равномерно распределенной на отрезке [ a , b ] совпадает с серединой этого отрезка.

Найдем дисперсию равномерно распределенной случайной величины:

откуда сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:

Найдем теперь вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (a , b ) , принадлежащий целиком отрезку [ a , b ]:


Геометрически эта вероятность представляетсобойплощадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.

Пример1. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке. Будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Решение:

СВ- время ожидания автобуса имеет равномерное распределение. Тогда искомая вероятность будет равна:

Пример2. Ребро куба х измерено приближенно. Причем

Рассматривая ребро куба как случайную величину, распределенную равномерно в интервале (a , b ) , найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Решение:

Объем куба- случайная величина, определяемая выражением У= Х 3 . Тогда математическое ожидание равно:

Дисперсия:

Онлайн сервис:

Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Это означает, что в в данном интервале плотность вероятности постоянна.

Таким образом, при равномерном распределении плотность вероятности имеет вид

Значения f (x ) в крайних точках a и b участка (a , b ) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины равна нулю.

Кривая равномерного распределения имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок (a , b ) (рисунок ниже), в связи с чем равномерное распределение иногда называют "прямоугольным".

Как найти вероятность попадания случайной величины X , равномерно распределённой на участке (a , b ) на любую часть (α , β ) участка (a , b ) ?

Эта вероятность находится по формуле

и геометрически представляет собой площадь, дважды заштрихованную на рисунке ниже и опирающуюся на часть (α , β ) участка (a , b ) :

Функция распределения F (x ) непрерывной случайной величины при равномерном распределении имеет вид

Характеристики равномерного распределения

Характеристики равномерного распределения:

Решение примеров на равномерное распределение

Пример 1. Наблюдения показали, что вес ящика, предназначенного для транспортировки овощей, является равномерно распределённой случайной величиной в интервале от 985 г. до 1025 г. Случайно выбран один ящик. Найти характеристики равномерно распределённой случаной величины при условиях, которые будут указаны в решении.

Решение. Найдём вероятность того, что вес данного ящика будет в интервале от 995 г. до 1005 г. :

Найдём среднее значение непрерывной случайной величины:

.

Найдём стандартное отклонение:

.

Определим, у скольки процентов ящиков вес находится на удалении одного стандартного отклонения от среднего значения (т. е. в интервале ):

.

Пример 2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 (мин.). Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени, никак не связанный с расписанием поездов. Случайная величина T - время, в течение которого ему придётся ждать поезда, имеет равномерное распределение. Найти плотность распределения f (x ) случайной величины T , её математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что ждать придётся не больше полминуты.

Решение. Найдём плотность распределения f (x ) :

f (x ) = 1/2 (0 < x < 2) .

Найдём математическое ожидание случайной величины:

μ = (2 + 0)/2 = 1 .

Найдём дисперсию:

σ ² = 2²/12 = 1/3 .

Стандартное отклонение:

σ = (√3)/3 .

Найдём вероятность того, что пассажиру придётся ждать поезда не больше полминуты:

P {T < 1/2} = 1/4 .

Пример 3. Случайная величина X распределена равномерно на участке (a , b ) . Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 3σ .

Примеры законов распределения непрерывных случайных величин.

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке , если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его.

Плотность распределения вероятности равномерно распределенной случайной величины имеет вид:

Рис. 1. График плотности равномерного распределения

Функция распределения равномерно распределенной случайной величины имеет вид:

С равномерным законом распределения имеют дело, когда по условиям испытания или опыта изучают случайную величину Х, которая принимает значения в конечном промежутке и все значения из этого промежутка равновозможны, т.е. ни одно из значений не имеет преимуществ перед другими.

Например:

Время ожидания на остановке автобуса - случайная величина Х - равномерно распределена на отрезке , где т - интервал движения между автобусами;

Округление чисел, при округлении до целых чисел ошибка округления это разность между начальным и округленным значением, и это величина равномерно распределена на полуинтервале .

Числовые характеристики равномерно-распределенной случайной величины:

2) Дисперсия

Пример 1: Интервал движения автобуса 20 минут. Какова вероятность того, что пассажир на остановке будет ждать автобус не более 6 минут?

Решение: Пусть случайная величина Х - время ожидания автобуса, она равномерно распределена на отрезке .

По условию задачи параметры равномерного распределения величины Х:

По определению равномерного распределения в соответствии с формулой (2) функция распределения величины Х будет иметь вид:

Искомую вероятность вычислим по формуле

Ответ: Вероятность того, что пассажир будет автобус не более 6 минут равна 0,3.

Пример 2: Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке . Записать плотность распределения величины Х.

Решение:

По определению равномерного распределения в соответствии с формулой (1) плотность распределения величины Х будет иметь вид:

Ответ: .

Пример 3: Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке . Записать функцию распределения величины Х.

Решение: Поскольку случайная величина Х - равномерно распределена на отрезке , то по условию задачи параметры распределения величины Х:

По определению равномерного распределения в соответствии с формулой (2) плотность распределения величины Х будет иметь вид:

Пример 4: Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке . Найти числовые характеристики величины Х.


Решение: Поскольку случайная величина Х - равномерно распределена на отрезке , то по условию задачи параметры распределения величины Х:

По определению равномерного распределения в соответствии с формулами (3), (4) и (5) числовые характеристики величины Х будут следующие:

1) Математическое ожидание

2) Дисперсия

3) Среднее квадратическое отклонение

Ответ: , ,