На этом уроке мы вспомним, что такое алгебраическое выражение, как найти его значение при заданных значениях переменных. Выясним, какие значения переменных могут быть недопустимыми для данного выражения. А также научимся выполнять различные действия с числовыми и алгебраическими выражениями.
Определение : алгебраическое выражение - это любая составленная со смыслом запись, которая может содержать только числа, буквы, знаки действия и скобки. Например, .
Можно вычислить значение алгебраического выражения при заданных значениях переменных, для этого достаточно подставить значение в выражение и выполнить вычисления. Например, при значение выражения : .
Задача 1 . Найдите значение выражения при .
Решение . Подставим значение в выражение и выполним вычисления:
Ответ : .
В задаче 1 получилось деление на 0. Можно попробовать поделить 3 на 0, например, на калькуляторе. Убедитесь сами, что калькулятор не смог найти значение этого выражения. Не получится и у нас. Деление на 0 не имеет смысла, не определено.
Почему деление на ноль не определено?
0 был введен как часть большого механизма под названием целые числа для обозначения отсутствия чего-то. 0 облегчает счет и запись чисел, но нулевого количества нет, на него не укажешь пальцем, поэтому сказать, сколько 0 содержится в другом числе нельзя.
Разделить 3 на 0 означает сказать, сколько раз в 3 ничего нет. Ответить на вопрос, сколько в гараже квадратных метров можно, но ответить, сколько в нем пустоты, - нет.
Если бы был придуман какой-то смысл для выражения , то это противоречило бы некоторым известным свойствам и определениям, например свойствам умножения, поэтому деление на 0 не определяют.
Можно все же попробовать разделить 3 на 0. Деление - это действие, обратное умножению, т.е., если .
Но при умножении на 0 всегда получается 0, т.е. такого просто не существует.
Рассмотрим случай деления 0 на 0, чтобы не возникало ощущения, что он - особый и отличается от деления 3 на 0.
Равенство будет справедливым для любого , потому что Но результат деления должен быть конкретным числом. Снова получаем противоречие.
Поэтому деление на 0 в математике не определено.
Подставить в алгебраическое выражение можно любое число, но не всегда получится посчитать его значение.
Определение : такие значения переменной, при которых выражение не определено (нельзя вычислить его значение), называют недопустимыми значениями .
На данный момент мы знакомы только с одним таким случаем. Например, если в выражении есть дробь или деление , то мы не будем подставлять в выражение такие значения переменной, при которых знаменатель обращается в 0: .
Есть и другие случаи появления недопустимых значений переменных, но о них мы узнаем позже, по мере изучения различных функций.
Рассмотрим примеры на определение недопустимых значений переменных в выражениях.
Пример 1
Решение . Выражение представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может обращаться в 0: .
Таким образом, недопустимым значением переменной является 0, т.е. выражение определено для любых .
Ответ : 0.
Пример 2 . Определить недопустимые значения переменной в выражении .
Решение
. Выражение представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может обращаться в 0: 
.
Таким образом, недопустимым значением переменной является 5, т.е. выражение определено для любых .
Ответ : 5.
Где еще можно встретить деление на ноль?
Докажем, что . Введем переменные , пусть .
Получим равенство:
Перегруппируем слагаемые и получим:
Вынесем общий множитель за скобки в каждой из частей равенства:
Разделим обе части равенства на и получим:
Получили, что . В чём подвох? Дело в том, что в наше «доказательство» вкралась ошибка: было выполнено деление на 0 при делении обеих частей равенства на выражение (по предположению эти числа равны: ).
Это пример математического софизма - утверждения с доказательством, в котором кроются ошибки. Софизмы бывают не только математическими, например, фраза «Ты не терял то, что у тебя есть. Ты не терял рога и хвост. Значит, у тебя есть рога и хвост» содержит логическую ошибку: из первой фразы не следует, что у тебя есть всё, что ты не терял.
Наиболее известными софизмами являются апории Зенона . Подробнее узнать о них вы можете по этой ссылке.
Мы уже сталкивались с эквивалентными выражениями, когда приводили дроби к общему знаменателю. Мы записывали цепочки эквивалентных дробей и выбирали из них те, у которых одинаковый знаменатель:
И 
Например, в данном случае это будут дроби: .
Эквивалентные выражения можно заменять друг другом, от этого смысл и значение записи не изменится.
Например, пусть есть выражение . Можно выполнить умножение и получить выражение . Оба эти числовых выражения равны, эквивалентны.
Если же выполнить все действия в каком-то числовом выражении, то получится его значение: , т.е. - значение числового выражения . Выполнив все действия, мы упростили числовое выражение.
Алгебраические выражения могут быть записаны по-разному, но означать одно и то же, например: и .
Можно ли сказать, что выражение упрощено? Обычно под упрощением подразумевают эквивалентную запись в таком виде, чтобы для вычисления значения выражения нужно было выполнить как можно меньше действий.
Например, чтобы вычислить значение выражения при заданном значении переменной необходимо выполнить 3 действия, а для выражения - одно действие. Конечно, разница в 2 действия невелика, но, если бы такую операцию нужно было бы проделать 50 раз, тогда разница была бы уже в целых 100 действий.
Задача 2
. Докажите, что выражение 
эквивалентно выражению .
Доказательство
Дважды воспользуемся распределительным законом :
Задача 3 . Упростите выражение: .
Решение . Воспользуемся формулой разности квадратов :
Ответ : .
Сравним количество действий, которое необходимо сделать, чтобы вычислить первое выражение и второе. В первом случае нужно было выполнить 5 действий, а во втором - только 1. В таких случаях говорят, что мы упростили алгебраическое выражение .
Недопустимые значение переменных
Найдем недопустимые значения переменных для выражения: .
Знаменатель дроби содержит переменные, определим, когда он обратится в 0:
Т.е. недопустимыми значениями переменных будут противоположные значения. Например, если , то .
Эквивалетность выражений
Выражения и не являются эквивалентными для любых и , т.к. первое выражение не определено, когда , а второе выражение определено при любых значениях переменных и .
Т.е. эти выражения будут эквивалентными только для таких и , которые не являются противоположными числами.
Задача 4 . Упростите выражение: .
Уроки алгебры знакомят нас с различными видами выражений. По мере поступления нового материала выражения усложняются. При знакомстве со степенями они постепенно добавляются в выражение, усложняя его. Также происходит с дробями и другими выражениями.
Чтобы изучение материала было максимально удобным, это производится по определенным названиям для того, чтобы можно было их выделить. Данная статья даст полный обзор всех основных школьных алгебраических выражений.
Одночлены и многочлены
Выражения одночлены и многочлены изучаются в школьной программе, начиная с 7 класса. В учебники были даны определения такого вида.
Определение 1
Одночлены – это числа, переменные, их степени с натуральным показателем, любые произведения, сделанные с их помощью.
Определение 2
Многочленами называют сумму одночленов.
Если взять, к примеру число 5 , переменную x , степень z 7 ,тогда произведения вида 5 · x и 7 · x · 2 · 7 · z 7 считаются одночленами. Когда берется сумма одночленов вида 5 + x или z 7 + 7 + 7 · x · 2 · 7 · z 7 , тогда получаем многочлен.
Чтобы отличать одночлен от многочлена, обращают внимание на степени и их определения. Немаловажно понятие коэффициента. При приведении подобных слагаемых их разделяют на свободный член многочлена или старший коэффициент.
Над одночленами и многочленами чаще всего выполняются какие-то действия, после которых выражение приводится к вижу одночлена. Выполняется сложение, вычитание, умножение и деление, опираясь на алгоритм для выполнения действий с многочленами.
Когда имеется одна переменная, не исключено деление многочлена на многочлен, которые представляются в виде произведения. Такое действие получило название разложение многочлена на множители.
Рациональные (алгебраические) дроби
Понятие рациональные дроби изучаются в 8 классе средней школы. Некоторые авторы называют их алгебраическими дробями.
Определение 3
Рациональной алгебраической дробью называют дробь, в которой на месте числителя и знаменателя выступают многочлены или одночлены, числа.
Рассмотрим на примере записи рациональных дробей типа 3 x + 2 , 2 · a + 3 · b 4 , x 2 + 1 x 2 - 2 и 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + 4 . Опираясь на определение, можно сказать, что каждая дробь считается рациональной дробью.
Алгебраические дроби можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень. Подробнее это рассматривается в разделе действий с алгебраическими дробями. Если необходимо преобразовать дробь, нередко пользуются свойством сокращения и приведения к общему знаменателю.
Рациональные выражения
В школьном курсе изучается понятие иррациональных дробей, так как необходима работа с рациональными выражениями.
Определение 4
Рациональные выражения считаются числовыми и буквенными выражениями, где используются рациональные числа и буквы со сложением, вычитанием, умножением, делением, возведением в целую степень.
Рациональные выражения могут не иметь знаков, принадлежащих функции, которые приводят к иррациональности. Рациональные выражения не содержат корней, степеней с дробными иррациональными показателями, степеней с переменными в показателе, логарифмических выражений, тригонометрических функций и так далее.
Основываясь на правиле, приведенном выше, приведем примеры рациональных выражений. Из выше сказанного определения имеем, что как числовое выражение вида 1 2 + 3 4 , так и 5 , 2 + (- 0 , 1) 2 · 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 · 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 , 3 считаются рациональными. Выражения, содержащие буквенные обозначения, также относят к рациональным a 2 + b 2 3 · a - 0 , 5 · b , с переменными вида a · x 2 + b · x + c и x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .
Все рациональные выражения подразделяют на целые и дробные.
Целые рациональные выражения
Определение 5Целые рациональные выражения – это такие выражения, не содержащие деления на выражения с переменными отрицательной степени.
Из определения имеем, что целое рациональное выражение – это и выражение, содержащее буквы, например, а + 1 , выражение, содержащее несколько переменных, например, x 2 · y 3 − z + 3 2 и a + b 3 .
Выражения вида x: (y − 1) и 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 не могут быть целыми рациональными, так как имеют деление на выражение с переменными.
Дробные рациональные выражения
Определение 6Дробное рациональное выражение – это выражение, которое содержит деление на выражение с переменными отрицательной степени.
Из определения следует, что дробные рациональные выражения могу быть 1: x , 5 x 3 - y 3 + x + x 2 и 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .
Если рассматривать выражения такого типа (2 · x − x 2) : 4 и a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4 , 2 , то дробными рациональными они не считаются, так как не имеют в знаменателе выражений с переменными.
Выражения со степенями
Определение 7Выражения, которые содержат степени в любой части записи, называют выражениями со степенями или степенными выражениями .
Для понятия приведем пример такого выражения. В них могут отсутствовать переменные, например, 2 3 , 32 - 1 5 + 1 , 5 3 , 5 · 5 - 2 5 - 1 , 5 . Также характерны степенные выражения вида 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 . Для того, чтобы решить их, необходимо выполнять некоторые преобразования.
Иррациональные выражения, выражения с корнями
Корень, имеющий место быть в выражении, дает ему иное название. Их называют иррациональными.
Определение 8
Иррациональными выражениями называют выражения, которые имеют в записи знаки корней.
Из определения видно, что это выражения вида 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x · y , 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x и x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . В каждом из них имеется хотя бы один значок корня. Корни и степени связаны, поэтому можно видеть такие записи выражений, как x 7 3 - 2 5 , n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3 .
Тригонометрические выражения
Определение 9Тригонометрическое выражение – это выражения с содержанием sin , cos , tg и ctg и их обратные – arcsin , arccos , arctg и arcctg .
Примеры тригонометрических функций очевидны: sin π 4 · cos π 6 cos 6 x - 1 и 2 sin x · t g 2 x + 3 , 4 3 · t g π - arcsin - 3 5 .
Для работы с такими функциями необходимо пользоваться свойствами, основными формулами прямых и обратных функций. Статья преобразование тригонометрических функций раскроет этот вопрос подробней.
Логарифмические выражения
После знакомства с логарифмами можно говорить о сложных логарифмических выражениях.
Определение 10
Выражения, которые имеют логарифмы, называют логарифмическими .
Примером таких функций могут быть log 3 9 + ln e , log 2 (4 · a · b) , log 7 2 (x · 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .
Можно встретить такие выражения, где есть степени и логарифмы. Это итак понятно, так как из определения логарифма следует, что это является показателем степени. Тогда получаем выражения вида x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 .
Для углубления изучения материала, следует обратиться к материалу о преобразовании логарифмических выражений.
Дроби
Существуют выражения особого вида, которые получили название дроби. Так как они имеют числитель и знаменатель, то они могут содержать не просто числовые значения, а также выражения любого типа. Рассмотрим определение дроби.
Определение 11
Дробью называют такое выражение, имеющее числитель и знаменатель, в которых имеются как числовые, так и буквенные обозначения или выражения.
Примеры дробей, которые имеют числа в числителе и знаменателе, выглядят так 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . Числитель и знаменатель может содержать как численные, так и буквенные выражения вида (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α , 2 + ln 5 ln x .
Хотя такие выражения, как 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 не являются дробями, однако, имеют дробь в своей записи.
Выражение общего вида
Старшие классы рассматривают задачи повышенной трудности, где собраны все комбинированные задания группы С по ЕГЭ. Эти выражения отличаются особой сложностью и различными комбинациями корней, логарифмов, степеней, тригонометрических функций. Это задания типа x 2 - 1 · sin x + π 3 или sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 .
Их вид говорит о том, что можно отнести к любому из вышеперечисленных видов. Чаще всего их не относят ни к какому, так как они имеют специфичное комбинированное решение. Их рассматривают как выражения общего вида, причем для описания не используются дополнительные уточнения или выражения.
При решении такого алгебраического выражения всегда необходимо обращать внимание на его запись, наличие дроби, степеней или дополнительных выражений. Это нужно для того, чтобы точно определиться со способом его решения. Если нет уверенности в его названии, то рекомендуется называть его выражением общего типа и решать, согласно выше написанному алгоритму.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Алгебраическое выражение
выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется рациональным относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня, например рационально относительно a, b и с. А. в. называется целым относительно некоторых букв, если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы, например 3а/с + bc 2 - 3ас/4
является целым относительно а и b. Если некоторые из букв (или все) считать переменными, то А. в. есть Алгебраическая функция .
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Алгебраическое выражение" в других словарях:
Выражение, составленное из букв и чисел, соединенных знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Большой Энциклопедический словарь
алгебраическое выражение - — Тематики нефтегазовая промышленность EN algebraic expression … Справочник технического переводчика
Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую… … Википедия
Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня. * * * АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, выражение,… … Энциклопедический словарь
алгебраическое выражение - algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expression vok. algebraischer Ausdruck, m rus. алгебраическое выражение, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas
Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебр. действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Естествознание. Энциклопедический словарь
Алгебраическим выражением относительно данного переменного, в отличие от трансцендентного, называют такое выражение, которое не содержит иных функций от данного количества, кроме сумм, произведений или степеней этого количества, причем слагаемыми … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ВЫРАЖЕНИЕ, выражения, ср. 1. Действие по гл. выразить выражать. Не нахожу слов для выражения своей благодарности. 2. чаще ед. Воплощение идеи в формах какого нибудь искусства (филос.). Только крупный художник способен создать такое выражение,… … Толковый словарь Ушакова
Уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений (См. Алгебраическое выражение). А. у. с одним неизвестным называется дробным, если неизвестное входит в знаменатель, и иррациональным, если неизвестное входит под… … Большая советская энциклопедия
ВЫРАЖЕНИЕ - первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… … Большая политехническая энциклопедия
Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».
То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).
Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).
Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:
Примеры:
Решения:
1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:
Первым действием должно быть разложение на множители:
4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.
Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.
Давай вспомним:
Ответы:
1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:
2. Здесь общий знаменатель равен:
3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:
Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:
Начнем с простого:
a) Знаменатели не содержат букв
Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:
теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:
Попробуй сам:
Ответы:
b) Знаменатели содержат буквы
Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:
· в первую очередь мы определяем общие множители;
· затем выписываем все общие множители по одному разу;
· и домножаем их на все остальные множители, не общие.
Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:
Подчеркнем общие множители:
Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:
Это и есть общий знаменатель.
Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:
· раскладываем знаменатели на множители;
· определяем общие (одинаковые) множители;
· выписываем все общие множители по одному разу;
· домножаем их на все остальные множители, не общие.
Итак, по порядку:
1) раскладываем знаменатели на множители:
2) определяем общие (одинаковые) множители:
3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:
Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:
Кстати, есть одна хитрость:
Например: .
Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:
в степени
в степени
в степени
в степени.
Усложним задание:
Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?
Давай вспомним основное свойство дроби:
Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!
Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?
Итак, очередное незыблемое правило:
Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!
Но на что же надо домножить, чтобы получить?
Вот на и домножай. А домножай на:
Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».
Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.
Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?
Нет, поскольку его можно разложить на множители:
(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).
Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.
Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).
Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:
Еще пример:
Решение:
Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :
Отлично! Тогда:
Еще пример:
Решение:
Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:
Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:
Так и напишем:
То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.
Теперь приводим к общему знаменателю:
Усвоил? Сейчас проверим.
Задачи для самостоятельного решения:
Ответы:
Тут надо вспомнить еще одну - разность кубов:
Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .
А - это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем - это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы - это один из множителей в разложени разности кубов:
Что делать, если дробей аж три штуки?
Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:
Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.
В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:
Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?
Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь - это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на. При этом само число не изменится, но превратится в дробь:
То, что нужно!
5. Умножение и деление дробей.
Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:
Порядок действий
Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:
Посчитал?
Должно получиться.
Итак, напоминаю.
Первым делом вычисляется степень.
Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.
И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.
Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!
Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.
А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.
Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):
Хорошо, это все просто.
Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?
Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.
Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.
Например:
Упростим выражение.
1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:
Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).
2) Получаем:
Умножение дробей: что может быть проще.
3) Теперь можно и сократить:
Ну вот и все. Ничего сложного, правда?
Еще пример:
Упрости выражение.
Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.
Решение:
Перво-наперво определим порядок действий.
Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.
Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.
Схематически пронумерую действия:
Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:
1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.
2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.
Вот тебе задачи для самостоятельного решения:
И обещанная в самом начале:
Ответы:
Решения (краткие):
Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.
Теперь вперед к обучению!
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Базовые операции упрощения:
- Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
- Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
- Сокращение дроби
: числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.ВАЖНО: сокращать можно только множители!
- Сложение и вычитание дробей:
; - Умножение и деление дробей:
;
Статьи по естественным наукам и математике
Что такое числовое и алгебраическое выражение?
Числовое выражение - это любая запись, составленная из чисел и знаков арифметических действий и записанная по известным правилам, вследствие чего имеющая определенный смысл. Например, числовыми выражениями являются такие записи: 4 + 5; -1,05 × 22,5 — 34. С другой стороны, запись × 16 — × 0,5 не является числовой, так как, хотя и состоит из чисел и знаков арифметических операций, записана не по правилам составления числовых выражений.
Если в числовом выражении встречаются буквы вместо чисел (всех или только некоторых), то это выражение является уже алгебраическим .
Смысл использования букв заключается примерно в следующем. Вместо букв могут быть подставлены разные числа, а значит выражение может иметь различные значения. Алгебра как наука изучает принципы упрощения выражений, поиска и использования различных правил, законов, формул. Алгебра изучает наиболее рациональные способы выполнения вычислений, а как раз для этого нужны обобщения, то есть использование переменных (букв) вместо конкретных чисел.
К алгебраическим фактам можно отнести законы сложения и умножения, понятия отрицательного числа, обыкновенной и десятичной дробей и правила арифметических операций с ними, свойства обыкновенных дробей. Алгебра призвана разобраться во всем этом многообразии фактов, научить их использовать, видеть применимость законов в конкретных числовых и алгебраических выражениях.
Когда числовое выражение вычисляется, то в результате получается его значение. Значение же алгебраического выражение может быть вычислено только, если вместо букв будут подставлены определенные числовые значения. Например, выражение a ÷ b при a = 3 и b = 5 имеет значение 3 ÷ 5 или 0,6. Однако алгебраическое выражение может быть таким, что при некоторых значениях переменных (букв) может вовсе не иметь смыла. Для того же примера (a ÷ b) выражение не имеет смысла при b = 0, так как на ноль делить нельзя.
Поэтому говорят о допустимых и недопустимых значениях переменных для того или иного алгебраического выражения.
scienceland.info
Алгебраические выражения
- Определение понятия
- Значение выражения
- Тождественные выражения
- Решение задач
- Что мы узнали?
Определение понятия
Какие выражения называют алгебраическими? Это математическая запись, составленная из цифр, букв и знаков арифметических действий. Наличие букв – это основное отличие числовых и алгебраических выражений. Примеры:
Буква в алгебраических выражений обозначает какое-либо число. Поэтому она называется переменной – в первом примере это буква а, во втором – b, а в третьем – с. Само алгебраическое выражение еще называют выражением с переменной .
Значение выражения
Значение алгебраического выражения – это число, получаемое в результате выполнения всех арифметических действий, которые указаны в этом выражении. Но, чтобы его получить, буквы необходимо заменить числами. Поэтому в примерах всегда указывают, какое число соответствует букве. Рассмотрим, как найти значение выражения 8а-14*(5-а), если а=3.
Подставим вместо буквы а цифру 3. Получаем следующую запись: 8*3-14*(5-3).
Как и в числовых выражениях, решение алгебраического выражения проводится по правилам выполнения арифметических действий. Решим все по порядку.
Таким образом, значение выражения 8а-14*(5-а) при а=3 равно -4.
Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.
Пример допустимой переменной для выражения 5:2а – это цифра 1. Подставив ее в выражение, получаем 5:2*1=2,5. Недопустимая переменная для данного выражения – это 0. Если подставить ноль в выражение, получаем 5:2*0, то есть 5:0. На ноль делить нельзя, значит, выражение не имеет смысла.
Тождественные выражения
Если два выражения при любых значениях входящих в их состав переменных оказываются равны, их называют тождественными
.
Пример тождественных выражений
:
4(а+с) и 4а+4с.
Какие бы значения ни принимали буквы а и с, выражения всегда окажутся равны. Любое выражение можно заменить другим, тождественным ему. Этот процесс называют тождественным преобразованием.
Пример тождественного преобразования
.
4*(5а+14с) – данное выражение можно заменить тождественным, применив математический закон умножения. Чтобы умножить число на сумму двух чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
Таким образом, выражению 4*(5а+14с) является тождественным 20а+64с.
Число, стоящее в алгебраическом выражении перед буквенной переменной, называется коэффициентом. Коэффициент и переменная – это множители.
Решение задач
Алгебраические выражения используют для решения задач и уравнений.
Рассмотрим задачу. Петя придумал число. Для того, чтобы его отгадал одноклассник Саша, Петя сказал ему: сначала я прибавил к числу 7, затем вычел из него 5 и умножил на 2. В результате я получил число 28. Какое число я загадал?
Для решения задачи нужно загаданное число обозначить буквой а, а затем произвести все указанные действия с ним.
Теперь решим полученное уравнение.
Петя загадал число 12.
Что мы узнали?
Алгебраическое выражение – запись, составленная из букв, цифр и знаков арифметических действий. Каждое выражение имеет значение, которое находят путем выполнения всех арифметических действий в выражении. Буква в алгебраическом выражении называется переменной, а число перед ней – коэффициентом. Алгебраические выражения используют для решения задач.
6.4.1. Алгебраическое выражение
I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.
Примеры алгебраических выражений:
2m -n; 3· (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;
Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение - выражением с переменной.
II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.
Примеры. Найти значение выражения:
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:
2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).
Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?
Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!
В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.
В примере 2) знаменатель х - 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.
В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.
В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV.
Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.
Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.
Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:
1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).
Решение . Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:
(a+b)·c=a·c+b·c
(распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c
(распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).
1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.
2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.
3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:
4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.
Решение. Применим законы (свойства) сложения:
a+b=b+a
(переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).
4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.
5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.
6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.
в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:
7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.
Решение. Применим законы (свойства) умножения:
a·b=b·a
(переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c)
(сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).
7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.
8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.
9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.
Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.
Примеры. Упростите, используя сокращение дробей. 
Решение. Сократить дробь - это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b ; дробь 11) сократим на а и дробь 12) сократим на 7n . Получаем:
Алгебраические выражения применяют для составления формул.
Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными. Пример: известная вам формула пути s=v·t (s - пройденный путь, v - скорость, t - время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете.
www.mathematics-repetition.com
Правило значение алгебраического выражения
Числовые и алгебраические выражения
В младших классах вы учились проводить вычисления с целыми и дробными числами , решали уравнения, знакомились с геометрическими фигурами, с координатной плоскостью. Все это составляло содержание одного школьного предмета «Математика» . В действительности такая важная область науки, как математика, подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебру, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, математическую логику, математическую статистику, теорию игр и т.д. У каждой дисциплины - свои объекты изучения, свои методы познания реальной действительности.
Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления , но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее. Человек, владеющий алгебраическими методами, имеет преимущество перед теми, кто не владеет этими методами: он быстрее считает, успешнее ориентируется в жизненных ситуациях, четче принимает решения, лучше мыслит. Наша задача - помочь вам овладеть алгебраическими методами, ваша задача - не противиться обучению, с готовностью следовать за нами, преодолевая трудности.
На самом деле в младших классах вам уже приоткрыли окно в волшебный мир алгебры, ведь алгебра в первую очередь изучает числовые и алгебраические выражения.
Напомним, что числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий (составленную, разумеется, со смыслом: например, 3 + 57 - числовое выражение, тогда как 3 + : - не числовое выражение, а бессмысленный набор символов). По некоторым причинам (о них мы будем говорить в дальнейшем) часто вместо конкретных чисел употребляются буквы (преимущественно из латинского алфавита); тогда получается алгебраическое выражение. Эти выражения могут быть очень громоздкими. Алгебра учит упрощать их, используя разные правила, законы, свойства, алгоритмы, формулы, теоремы.
Пример 1 . Упростить числовое выражение:
Решение . Сейчас мы вместе с вами кое-что вспомним, и вы увидите, как много алгебраических фактов вы уже знаете. Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений. Для этого придется использовать принятые в математике соглашения о порядке действий. Порядок действий в данном примере будет таким:
1) найдем значение А выражения в первых скобках:
А = 2,73 + 4,81 + 3,27 — 2,81;
2) найдем значение В выражения во вторых скобках:
3) разделим А на Б - тогда будем знать, какое число С содержится в числителе (т. е. над горизонтальной чертой);
4) найдем значение D знаменателя (т. е. выражения, содержащегося под горизонтальной чертой):
D = 25 — 37- 0,4;
5) разделим С на D - это и будет искомый результат. Итак, план вычислений есть (а наличие плана - половина
успеха!), приступим к его реализации.
1) Найдем А = 2,73 + 4,81 + 3,27 — 2,81. Конечно, можно считать подряд или, как говорится, «в к лоб»: 2,73 + 4,81, затем к этому числу прибавить
3,27, затем вычесть 2,81. Но культурный человек так вычислять не будет. Он вспомнит переместительный и сочетательный законы сложения (впрочем, ему их и не надо вспоминать, они у него всегда в голове) и будет вычислять так:
(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.
А теперь еще раз вместе проанализируем, какие математические факты нам пришлось вспомнить в процессе решения примера (причем не просто вспомнить, но и использовать).
1. Порядок арифметических действий.
2. Переместительный закон сложения: а + b = b + а.
4. Сочетательный закон сложения:
a+b + c = (a + b) + c = a + (b + c).
5. Сочетательный закон умножения: abc = (ab)c = а(bс).
6. Понятия обыкновенной дроби, десятичной дроби , отрицательного числа.
7. Арифметические операции с десятичными дробями.
8. Арифметические операции с обыкновенными дробями.
10. Правила действий с положительными и отрицательными числами . Все это вы знаете, но ведь все это - алгебраические факты. Таким образом, некоторое знакомство с алгеброй у вас уже состоялось в младших классах. Основная трудность, как видно уже из примера 1, заключается в том, что таких фактов довольно много, причем их надо не только знать, но и уметь использовать, как говорят, «в нужное время и в нужном месте». Вот этому и будем учиться.
Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выражения, можно придавать различные числовые значения (т.е. можно менять значения букв), эти буквы называют переменными.
б) Аналогично, соблюдая порядок действий, последовательно находим:
А на нуль делить нельзя! Что это значит в данном случае (и в других аналогичных случаях)? Это значит, что при : заданное алгебраическое выражение не имеет смысла.
Используется такая терминология: если при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение имеет числовое значение, то указанные значения переменных называют допустимыми; если же при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то указанные значения переменных называют недопустимыми.
Так, в примере 2 значения a = 1 и b = 2, а = 3,7 и b = -1,7 - допустимые, тогда как значения
недопустимые (более точно: первые две пары значений - допустимые, а третья пара значений - недопустимая).
Вообще, в примере 2 недопустимыми будут такие значения переменных а, b, при которых либо а + b = 0, либо а — b = 0. Например, a = 7, b = — 7 или a = 28,3, b = 28,3 - недопустимые пары значений; в первом случае a + b = 0, а во втором случае a — b = 0. В обоих случаях знаменатель заданного в этом примере выражения обращается в нуль, а на нуль, повторим еще раз, делить нельзя. Теперь, наверное, вы и сами сможете придумать как допустимые пары значений для переменных а, b, так и недопустимые пары значений этих переменных в примере 2. Попробуйте!
Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.
